Twittear Parafernalias Matemáticas: Consejos para resolver problemas

martes, 4 de diciembre de 2012

Consejos para resolver problemas



El tema de la resolución de problemas en matemáticas es muy interesante.
La mejor manera de aprender a resolver problemas es resolviéndolos, o, por lo menos, intentándolo.
Aquí tienes enunciados que no exigen demasiados conocimientos matemáticos, pero que pueden servirte para tomar contacto con el tema de la resolución de problemas en matemáticas.
Los rotulados como tipoA requieren menos conocimientos matemáticos (nivel ESO) y los tipo B corresponden al nivel Bachillerato
  Retos Matemáticos tipo A
Retos Matemáticos tipo B  
Una vez que nos hemos "fajado" con algunos problemas, podemos empezar a reflexionar para intentar mejorar.

Voy a dar consejos para resolver problemas que he tomado de una página  que aparece en la lista del final


Algunos consejos para resolver problemas


Hirió mi mente un relámpago,  que colmó mi deseo.

DANTE: Paradiso, Canto XXXIII
Por favor, dame un problema
Los matemáticos entendemos la palabra "problema" de forma diferente a la usual. Si le dices a un amigo "tengo un problema", seguro que ese amigo entiende que te sucede algo que puede tener consecuencias desagradables. Casi todo el mundo procura evitar los problemas y a nadie le gusta que le "calienten la cabeza" con problemas. A nadie... menos a los matemáticos. Para un matemático tener un buen problema es garantía de horas de trabajo interesante, a veces, incluso, apasionante. En todos los tiempos el deseo de resolver algunos grandes problemas ha sido el mayor estímulo para el progreso de las matemáticas. Hacer matemáticas consiste, esencialmente, en resolver y en proponer problemas.


Te digo todo esto, porque ya es hora de que empieces a considerar los problemas como amigos que te brindan la oportunidad de progresar de una forma activa en tus estudios, de comprobar si de verdad sabes lo que crees saber y, a veces, de experimentar ese destello de plenitud gozosa que sobreviene cuando, después de horas de intenso trabajo, alcanzas la "iluminación" de la respuesta correcta, simple y elegante.  
¿Qué es un problema?
El verdadero problema es que hace ya mucho tiempo que en las enseñanzas medias se olvidaron de los problemas. No me preguntes por qué. Yo no soy ningún experto en el tema, pero mi impresión es que en algunas de las teorías pedagógicas de moda (las que hablan de enseñanza lúdica o de aprender a aprender y otras bobadas por el estilo) subyace una enorme desconfianza en la capacidad de los jóvenes para aprender. Por ello, no es extraño que en la Reforma de las enseñanzas medias los ejercicios más o menos triviales hayan acabado por sustituir a los bonitos problemas de antes, aquellos que proponían los profesores antes de que los teóricos de todas las reformas les convencieran de que sus alumnos eran demasiado torpes. Por eso, es muy posible que hayas llegado a la universidad sin haberte enfrentado nunca con un problema de verdad, un problema que no sea un mero ejercicio. Porque no son lo mismo.
EJERCICIOS
  • De un vistazo sabes lo que te piden que hagas.
  • Conoces de antemano un camino y no tienes más que aplicarlo para llegar a la solución.
  • El objetivo principal es aplicar en una situación concreta, de forma más o menos mecánica, procedimientos y técnicas generales previamente ensayados.
  • Proponen tareas perfectamente definidas.
PROBLEMAS
  • Suele ser necesario leerlos con atención para entenderlos correctamente.  
  • Sabes, más o menos, a dónde quieres llegar, pero ignoras el camino.
  • El objetivo es que organices y relaciones tus conocimientos de forma novedosa. Suponen una actitud mental positiva, abierta y creativa.
  • En general, son cuestiones más abiertas y menos definidas que los ejercicios.
ALGUNOS CONSEJOS QUE TE AYUDARÁN A PENSAR MEJOR
Para ser eficaz resolviendo problemas, es conveniente que tengas en cuenta las siguientes recomendaciones.
La actitud inicial es importanteCuando nos enfrentamos a un problema es muy importante la actitud que tienes ante él. ¿Estás ansiosos por resolverlo o no tienes gana ninguna? ¿Tus condiciones físicas (cansancio, sueño, etc..) son las adecuadas? ¿Tienes curiosidad, disposición de aprender, gusto por el reto?
Ten confianza en tus capacidadesCon frecuencia, no es necesario saber mucho para resolver bien un problema. Basta con pensar correctamente. Actúa, pues, sin miedo, con tranquilidad, convencido de que está a tu alcance.
Sé paciente y constanteNo abandones a la menor dificultad. Si te quedas atascado, no te des por vencido; piensa un nuevo enfoque del problema. Cada problema requiere su tiempo. 
Concéntrate en lo que hacesResolver problemas es una actividad mental compleja. Requiere poner en tensión todos nuestros resortes mentales.
Busca el éxito a largo plazoAprender a resolver problemas es un proceso lento. Los frutos tardarán un cierto tiempo en llegar pero cuando notes los progresos sentirás una gran satisfacción.
 

ETAPAS EN LA RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA
No existen reglas que aseguren el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, sí se pueden señalar algunos pasos generales para el proceso de resolverlos. Los que siguen están sacados del libro How To Solve It de George Polya y de los libros Aventuras Matemáticas y Para pensar mejor de Miguel de Guzmán cuya lectura te recomiendo vivamente. 
A Comprende el problema

Lee tranquilamente el enunciado. Puede ser necesario que lo leas varias veces, hasta estar seguro de haberlo entendido y de que no se te ha escapado ningún dato interesante. Has de tener muy claro en qué consiste, qué conoces, qué se te pide, cuáles son las condiciones... Esto es imprescindible para afrontar el problema con garantías de éxito. 
B Elabora un plan de actuaciónCuando ya estás seguro de haber entendido bien el problema y crees tener toda la información necesaria, es el momento de elegir una estrategia para resolverlo. Existe una gran variedad de estrategias que conviene que conozcas y que practiques para mejorar tu capacidad de resolver problemas. Al final te indico algunas de las más frecuentes.
C Lleva adelante tu plan

Ya tienes una estrategia que te parece adecuada. Trabájala con decisión y no la abandones a la primera dificultad. Pero si ves que las cosas se complican demasiado y que no te acercas nada a la solución, vuelve al paso anterior y prueba con una estrategia diferente. Por lo general hay varias formas de llegar a la solución y no podemos esperar acertar siempre con la más apropiada al primer intento. 
¿Salió? ¿Seguro? Revisa el resultado y cerciórate bien de que has llegado a la solución. Son innumerables las veces que creemos haber resuelto un problema y luego no es así. Las medias ideas y medias soluciones sirven de poco. 
D Mira atrás y reflexiona sobre todo el proceso¿Has resuelto el problema? ¡Enhorabuena! ¿Has pasado un buen rato interesado, entretenido, intentándolo con ganas, y has acabado por no resolverlo? ¡Enhorabuena también! Se aprende mucho más de los problemas trabajados con interés y tesón... y no resueltos, que de los que se resuelven casi a primera vista. Ahora debes reflexionar sobre todo el proceso. Esta etapa puede ser la más provechosa de todas... y la que más a menudo olvidamos realizar. 
  • Examina a fondo el camino que has seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O, por qué no has llegado a la solución? ¿Ibas bien encaminado desde el principio? ¿Habías intuido la estrategia correcta en el paso B? ¿O, por qué no se te ocurrió pensar en ella? ¿Qué es lo que te engañó al escoger estrategias? ¿Cuál fue la chispa que te hizo intuir que iba a ir bien? 
  • Revisa la solución desde un principio tratando de comprender bien no sólo que funciona sino por qué funciona. Mira a ver si se te ocurre hacerlo de modo más simple. 
  • Familiarízate con el método de solución, a fin de utilizarlo en problemas futuros. Descartes dijo una vez: "Cada problema que resolví se convirtió en una regla que más adelante me sirvió para solucionar otros problemas." 
  • Reflexiona un poco sobre tu propio proceso de pensamiento y saca consecuencias para el futuro. Con experiencias repetidas como ésta tal vez te puedas hacer un diagnóstico de tu propio estilo de conocimiento. Cada uno tiene el suyo peculiar. ¿Cómo es tu pensamiento? ¿Visual o analítico? ¿Dependes mucho de la expresión verbal o de la fórmula escrita? ¿Tiendes a pensar en círculos, obsesivamente? ¿Tiendes al compromiso con una sola idea, sin flexibilidad? ¿Cómo podrías fomentar la fluencia espontánea de ideas variadas, originales, novedosas? Si lo consigues, tendrás una gran ventaja al saber en qué clases de problemas te puedes ocupar con ventaja y en cuáles tu probabilidad de éxito no es tan grande. Sabrás cómo abordar problemas, no ya matemáticos, sino de toda clase, aproximándote a ellos tratando de sacar el mejor partido posible de las ventajas de tu propio estilo.
E Redactar el proceso de resolución

Esfuérzate por redactar de forma clara, ordenada, elegante, que pueda ser comprendida con facilidad por otra persona. Es frecuente que al hacerlo te des cuenta de que hay algún punto que no sabes explicar bien o alguna dificultad que tú habías pasado por alto. Aunque no hubieras llegado a resolverlo, hacer una buena redacción describiendo el proceso que has seguido, los sucesivos intentos, el porqué crees que no sale, etc., te ayudará a mejorar. Además, puede resultar muy útil para que quien te lo propuso pueda darte orientaciones que sean más adecuadas para ti.

ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
  • Buscar semejanzas con otros problemasNada hay nuevo bajo el sol. ¿A qué te recuerda la situación? ¿No intuyes que tal vez sea como aquella otra?
  • Reducir lo complicado a lo simpleNormalmente el camino correcto para la resolución de un problema complicado es la división de este en otros más sencillos.
  • Considerar casos particularesEn algunas ocasiones, experimentar con casos particulares te pone en la pista correcta para resolver el caso general.
  • Hacer un dibujoA veces, una imagen vale más que mil palabras. En el dibujo o esquema que hagas debes incorporar los datos realmente importantes y prescindir de lo demás. No necesitas hacer un dibujo muy preciso. El objetivo es que sirva de apoyo para avanzar en la resolución.

     
  • Estudiar todos los casos posiblesSe trata de ver todas y cada una de las posibilidades y analizar si se pueden aceptar o descartar y por qué.
  • Elegir una buena notaciónEligiendo una buena notación, un problema se puede simplificar notablemente. El objetivo es relacionar los datos con las variables elegidas y tratar de hacer los cálculos de la mejor manera posible. A la hora de elegir una buena notación, debemos tener presente que ésta sea clara, concisa y sin ambigüedades. La notación mejor es la que expresa abreviadamente la función misma de los elementos que representa.

     
  • Incorporar algo adicionalA veces, al incorporar un elemento nuevo, por ejemplo, una línea o una incógnita, se ponen de manifiesto relaciones que de otra forma pueden pasar desapercibidas.
  • Ensayo y errorEs una estrategia muy utilizada en nuestra vida: obramos de una determinada manera, observamos qué pasa, decidimos otras alternativas, etc. Estamos procediendo por ensayo y error. En matemáticas se suele emplear en multitud de ocasiones.
  • Trabajar hacia atrásA veces es de gran ayuda imaginar que el problema está resuelto y trabajar paso a paso hacia atrás hasta llegar a la información conocida. Sólo entonces estarás en condiciones de recorrer en sentido contrario el camino y construir una solución.
  • Razonamiento indirectoOcasionalmente será apropiado atacar el problema de manera indirecta.  Supongamos que no... ¿a dónde nos lleva? Esto es el argumento que se llama indirecto o por reducción al absurdo. Para demostrar que P implica Q se puede suponer que P es verdadera y Q es falsa, y tratar de ver por qué esto es imposible.
  • Aprovechar la simetríaEn algunos problemas existen, a veces encubiertas, ciertas regularidades o simetrías que pueden aprovecharse para resolverlos.
  • Usar técnicas generalesPor ejemplo, para demostrar resultados que involucran un entero positivo n, es de utilidad valerse del Principio de Inducción matemática. Otras veces, puede ser útil el llamado principio del palomar que se expresa así: si tienes n objetos que repartir en menos de n cajas, entonces en alguna de las cajas tienes que poner al menos dos objetos.
  • Usar programas de cálculo simbólicoSi puedes hacerlo ¿por qué no? Programas como MathematicaMaple o Derive pueden proporcionarte una gran ayuda en muchas situaciones pues permiten hacer un tratamiento gráfico o numérico preciso. 






BIEN , VEAMOS AHORA LOS PASOS QUE SE PUEDEN SEGUIR PARA RESOLVER PROBLEMAS, tomados de una página que aparece más en la lista del final:

PAUTAS A SEGUIR EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
    Una vez señaladas las características de los buenos problemas, hay que referirse a la importancia que tiene resolver problemas en clase. Pensemos, que, como dice Polya (1945) «sólo los grandes descubrimientos permiten resolver los grandes problemas, hay, en la solución de todo problema, un poco de descubrimiento»; pero que, si se resuelve un problema y llega a excitar nuestra curiosidad, «este género de experiencia, a una determinada edad, puede determinar el gusto del trabajo intelectual y dejar, tanto en el espíritu como en el carácter, una huella que durará toda una vida».
    Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución del problema (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema sea por "ideas luminosas", que se tienen o no se tienen.
    Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. Que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas. Son los, procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas. El conocimiento y la práctica de los mismos es justamente el objeto de la resolución de problemas, y hace que sea una facultad entrenable, un apartado en el que se puede mejorar con la práctica. Pero para ello hay que conocer los procesos y aplicarlos de una forma planificada, con método.
    Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores:
1.    COMPRENDER EL PROBLEMA. Parece, a veces, innecesaria, sobre todo en contextos escolares; pero es de una importancia capital, sobre todo cuando los problemas a resolver no son de formulación estrictamente matemática. Es más, es la tarea más difícil, por ejemplo, cuando se ha de hacer un tratamiento informático: entender cuál es el problema que tenemos que abordar, dados los diferentes lenguajes que hablan el demandante y el informático.
       -    Se debe leer el enunciado despacio.
       -    ¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos)
       -    ¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos)
       -    Hay que tratar de encontrar la relación entre los datos y las incógnitas.
       -    Si se puede, se debe hacer un esquema o dibujo de la situación.
2.    TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO. Hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo.
       -    ¿Este problema es parecido a otros que ya conocemos?
       -    ¿Se puede plantear el problema de otra forma?
       -    Imaginar un problema parecido pero más sencillo.
       -    Suponer que el problema ya está resuelto; ¿cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida?
       -    ¿Se utilizan todos los datos cuando se hace el plan?
3.    PONER EN PRÁCTICA EL PLAN. También hay que plantearla de una manera flexible y recursiva, alejada del mecanicismo. Y tener en cuenta que el pensamiento no es lineal, que hay saltos continuos entre el diseño del plan y su puesta en práctica.
       -    Al ejecutar el plan se debe comprobar cada uno de los pasos.
       -    ¿Se puede ver claramente que cada paso es correcto?
       -    Antes de hacer algo se debe pensar: ¿qué se consigue con esto?
       -    Se debe acompañar cada operación matemática de una explicación contando lo que se hace y para qué se hace.
       -    Cuando se tropieza con alguna dificultad que nos deja bloqueados, se debe volver al principio, reordenar las ideas y probar de nuevo.
4.    COMPROBAR LOS RESULTADOS. Es la más importante en la vida diaria, porque supone la confrontación con contexto del resultado obtenido por el modelo del problema que hemos realizado, y su contraste con la realidad que queríamos resolver.
       -    Leer de nuevo el enunciado y comprobar que lo que se pedía es lo que se ha averiguado.
       -    Debemos fijarnos en la solución. ¿Parece lógicamente posible?
       -    ¿Se puede comprobar la solución?
       -    ¿Hay algún otro modo de resolver el problema?
       -    ¿Se puede hallar alguna otra solución?
       -    Se debe acompañar la solución de una explicación que indique claramente lo que se ha hallado.
       -    Se debe utilizar el resultado obtenido y el proceso seguido para formular y plantear nuevos problemas.
    Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca, con lo que nos encontramos en un nivel metacognitivo, que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás.
    Dentro de las líneas de desarrollo de las ideas de Polya, Schoenfeld da una lista de técnicas heurísticas de uso frecuente, que agrupa en tres fases, y que extractamos:
    ANÁLISIS.
    1.    Trazar un diagrama.
    2.    Examinar casos particulares.
    3.    Probar a simplificar el problema.
    EXPLORACIÓN.
    1.    Examinar problemas esencialmente equivalentes.
    2.    Examinar problemas ligeramente modificados.
    3.    Examinar problemas ampliamente modificados.
    COMPROBACIÓN DE LA SOLUCIÓN OBTENIDA.
    1.    ¿Verifica la solución los criterios específicos siguientes?:
           a)    ¿Utiliza todos los datos pertinentes?
           b)    ¿Está acorde con predicciones o estimaciones razonables?
           c)    ¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala?
    2.    ¿Verifica la solución los criterios generales siguientes?:
           a)    ¿Es posible obtener la misma solución por otro método?
           b)    ¿Puede quedar concretada en caso particulares?
           c)    ¿Es posible reducirla a resultados conocidos?
           d)    ¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?
    Finalmente, hacemos una recopilación de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas. Según S. Fernández (1992) serían:
    -    Ensayo-error.
    -    Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo.
    -    Manipular y experimentar manualmente.
    -    Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar).
    -    Experimentar y extraer pautas (inducir).
    -    Resolver problemas análogos (analogía).
    -    Seguir un método (organización).
    -    Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación).
    -    Hacer recuente (conteo).
    -    Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico, numérico (codificar, expresión, comunicación).
    -    Cambio de estados.
    -    Sacar partido de la simetría.
    -    Deducir y sacar conclusiones.
    -    Conjeturar.
    -    Principio del palomar.
    -    Analizar los casos límite.
    -    Reformular el problema.
    -    Suponer que no (reducción al absurdo).
    -    Empezar por el final (dar el problema por resuelto).
    Para terminar sólo queremos hacer dos consideraciones. La primera hace referencia a que el contexto en el que se sitúen los problemas, que por parte de los profesores se tienden a considerar como irrelevante o, al menos como poco significativo, tiene una gran importancia, tanto para determinar el éxito o fracaso en la resolución de los mismos, como para incidir en el futuro de la relación entre las matemáticas y los alumnos. La segunda, que parece una perogrullada, es que la única manera de aprender a resolver problemas es resolviendo problemas; es muy bueno conocer técnicas y procedimientos, pero vistos en acción, no sólo a nivel teórico, porque si no, es un conocimiento vacío. Luego, hay que hacer cuantos esfuerzos sean precisos para que la resolución de problemas sea el núcleo central de la enseñanza matemática.
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5.   DESARROLLO DE ALGUNAS ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
    Si consideramos un problema como una situación que se presenta en la que se sabe más o menos, o con toda claridad, a dónde se quiere ir, pero no se sabe cómo; entonces resolver un problema es precisamente aclarar dicha situación y encontrar algún camino adecuado que lleve a la meta.
    A veces no sabremos si la herramienta adecuada para la situación está entre la colección de técnicas que dominamos o ni siquiera si se ha creado una técnica que pueda ser suficientemente potente para resolver el problema. Esta es precisamente la circunstancia del investigador, en matemáticas y en cualquier otro campo, y, por otra parte, ésta es la situación en la que nos encontramos a veces en nuestra vida normal.
    La destreza para resolver genuinos problemas es un verdadero arte que se aprende con paciencia y considerable esfuerzo, enfrentándose con tranquilidad, sin angustias, a multitud de problemas diversos, tratando de sacar el mejor partido posible de los muchos seguros fracasos iniciales, observando los modos de proceder, comparándolos con los de los expertos y procurando ajustar adecuadamente los procesos de pensamiento a los de ellos. Es la misma forma de transmisión que la de cualquier otro arte, como el de la pintura, la música, etc.
    Las estrategias que tendremos ocasión de aprender y ejercitar son:
    A.    Comenzar resolviendo un problema semejante más fácil.
    B.    Hacer experimentos, observar, busca pautas, regularidades ... Hacer conjeturas. Tratar de demostrarlas.
    C.    Dibujar una figura, un esquema, un diagrama.
    D.    Escoger un lenguaje adecuado, una notación apropiada.
    E.    Inducción.
    F.    Supongamos que no es así.
    G.   Supongamos el problema resuelto.
    H.   Si tenemos una receta y estamos seguros de que se ajusta al problema, aplíquémosla.
    A.    COMENZAR RESOLVIENDO UN PROBLEMA SEMEJANTE MÁS FÁCIL.
    Esta estrategia se practica en multitud de circunstancias. El niño que aprende a andar en bicicleta no intenta lanzarse cuesta abajo por su cuenta a gran velocidad. Empieza con un triciclo para atender primero el problema de los pedales y del volante. Luego vendrá el problema del equilibrio y se ensayará con dos ruedas. Si se aprende a conducir un coche, lo mejor es circular primero despacio, sin necesidad de cambiar marchas, y en descampado, para poder jugar con el volante. Ya vendrán luego los problemas conduciendo en la calle.
    En matemáticas sucede lo mismo. Si estudiamos derivadas, primero, las haremos sencillas, la de un monomio como x2, ... , luego pasamos a un polinomio y cuando sentimos cierta familiaridad con el proceso, nos lanzamos más lejos.
    Un problema puede resultar difícil por su tamaño, por tener demasiados elementos que lo hacen enrevesado y oscuro. Para empezar, debemos resolver un problema semejante lo más sencillo posible. Luego lo complicaremos hasta llegar al propuesto inicialmente.
    Procediendo así, obtenemos varios provechos:
    a)    De orden psicológico. Empezamos animándonos con el probable éxito.
    b)    De orden racional. En el problema sencillo suelen aparecer, más transparentes, principios de solución que estaban confusos y opacos en medio de la complejidad del problema inicial.
    c)    Manipulación más fácil. La manipulación efectiva en un problema de pocas piezas es más fácil que en uno de muchas.
    La simplificación de un problema se puede lograr no sólo reduciendo su tamaño, sino también imponiendo alguna condición adicional que no está en el problema propuesto. Incluso, aunque parezca al principio que tu simplificación es demasiado drástica, se comprueba con frecuencia cómo la ayuda del problema simplificado es muy efectiva.
    UNA MOSCA ANTOJADIZA. Colocamos sobre la mesa 25 monedas iguales en la siguiente posición:
O  O  O  O  O
O  O  O  O  O
O  O  O  O  O
O  O  O  O  O
O  O  O  O  O
    Una mosca viene volando y se posa sobre una de ellas (la indicada). Se le ocurre hacer un paseo andando por las 25 monedas, pero, pasando de una moneda a otra horizontalmente y verticalmente y sin repetir moneda. ¿Lo podrá hacer? ¿Qué itinerario sería el adecuado para cada moneda en la que se pueda posar?
    Solución. Son muchas 25 monedas. Vamos a probar con menos, por ejemplo, con 2x2=4 monedas. Así:
 O  O
 O  O
    Es obvio que se pose donde se pose, la mosca tiene el camino bien fácil.
    Probemos con 3x3=9 monedas. Así:
 O  O  O
 O  O  O
 O  O  O
    Si la mosca se posa en una esquina también lo tiene fácil. Si se posa en el centro, también. Pero si se posa en cualquier otra moneda, como fácilmente se observa, lo tiene imposible.
    Así, en el caso de 3x3=9 monedas, a veces se puede hacer el paseo, y otras no. Podemos sospechar que en el de 5x5=25 monedas suceda algo parecido.
    ¿Por qué no se puede hacer el paseo en algunos casos cuando hay 9 monedas?
    Señalemos los centros de las monedas con coordenadas:
 (-1,1)   (0,1)   (1,1)
 (-1,0)   (0,0)   (1,0)
 (-1,-1)  (0,-1)  (1,-1)
    Es curioso: ¡los puntos desde los que el paseo no se puede hacer son (0,1), (1,0), (0,-1), (-1,0)! En ellos, la suma de las coordenadas es impar. En los restantes, la suma de las coordenadas es par. Llamaremos pares a estos vértices y, a los otros, impares.
    Hay cuatro vértices impares y cinco pares. El paseo de la mosca, empezando por un vértice impar, sería:
Impar     Par     Impar     Par     ...
    Si terminase en impar, habría más vértices impares que pares. Si terminase en par, habría igual número de las dos clases. Ambas cosas son falsas. ¡La mosca no puede hacer el paseo saliendo de un vértice impar!
    Esto da luz más que suficiente para tratar el caso de 5x5 monedas. El camino en los casos en los que se puede hacer se encuentra fácilmente.


PODEMOS AFIANZAR LOS CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS SUGERIDOS EN LAS ANTERIORES LECTURAS VIENDO EL SIGUIENTE VÍDEO

AHORA NOS SALIMOS DE LAS MATEMÁTICAS, VEMOS LO QUE PUEDE SIGNIFICAR RESOLVER PROBLEMAS EN UN CONTEXTO MÁS GENERAL, LO QUE NOS AYUDA A REFLEXIONAR SOBRE LOS PROBLEMAS ESPECÍFICOS MATEMÁTICOS, MEDIANTE EL SIGUIENTE VÍDEO


AHORA VOLVEMOS AL TEMA MATEMÁTICO
http://www.youtube.com/watch?v=b8dLc3uamX4   que es un  video  al que puedes acceder directamente pinchando en la anterior palabra subrayada.

Tenemos en España,un gran matemático, Miguel de Guzmán, ya fallecido que dedicó bastante atención a la resolución de problemas. Inspiradas en su obra, las siguientes páginas:
http://cifrasyteclas.com/2013/06/19/estrategias-para-resolver-problemas/
http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/drupal/migueldeguzman/legado/educacion/resolucion
http://gaussianos.com/diez-formas-de-pensar-como-un-matematico/
http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_alphacontent&section=5&Itemid=67
https://twitter.com/EDocet
http://cifrasyteclas.com/2013/01/23/puntos-rectas-y-un-problema-sin-resolver-que-cualquier-nino-puede-entender/
http://www.openproblemgarden.org/
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%B3mo_plantear_y_resolver_problemas
http://www.math.utah.edu/~alfeld/math/polya.html
http://www.ugr.es/~fjperez/resolver_problemas.html
http://www.fundacionalda.org/mm/file/biblio_recursosdidacticos/19_Resolucion_problemas_MigueldeGuzman.pdf
http://revistasuma.es/IMG/pdf/21/011-020.pdf
http://activitat-matematica.wikispaces.com/file/view/FASES%20DEL%20PROCESO%20DE%20RESOLUCI%C3%93N%20DE%20PROBLEMAS.pdf


Resumiendo:

Para resolver los problemas en Matemáticas podemos seguir el siguiente
modelo, llamado modelo de Guzmán.
1. Familiarización con el problema.
2. Búsqueda de estrategias.
3. Llevar adelante la estrategia.
4. Revisar el proceso y sacar consecuencias de él.


Un documento muy interesante y completo sobre resolución de problemas está AQUÍ

Por último, te ofrezco ayuda para resolver problemas matemáticos en los que tengas interés.
Si lo deseas deja en comentarios enunciados de problemas que tengas interés en resolver, y si puedo, te daré pistas en este blog de cómo resolverlos.


A continuación, para terminar,  lista de páginas de las que extraje  las citas y otras interesantes
http://www.tareasymas.es/hayotramaneradeestudiar?sse=14092012-Tym-sem-search-3-goo

http://www.matematicasfisicaquimica.com/conceptos-de-matematicas/883-indicaciones-pasos-resolucion-problemas-optimizacion-aplicaciones-derivada-matematicas-bachillerato.html

http://www.aula365.com/post/problemas-matematicas/

http://www.youtube.com/watch?v=sfbSFlx9_aU

http://ommcolima.ucol.mx/guias/TallerdeResolucionproblemas.pdf

http://web.usal.es/~lgrodero/2003-04_nt_ed-3ei/rebollo_sonia/rebollo_s-sm-res_problemas_t.pdf

http://www.isei-ivei.net/cast/pub/itemsliberados/Matematicas2011/matematicas_PISA2009items.pdf

http://www.educarm.es/templates/portal/images/ficheros/etapasEducativas/secundaria/3/secciones/129/contenidos/4287/esomate8.pdf

http://platea.pntic.mec.es/jescuder/prob_int.htm

http://www.ugr.es/~fjperez/resolver_problemas.html

En este enlace puedes ver problemas de cierto nivel (en el sentido de que requieren conocimientos de matemáticas al máximo nivel de la secundaria (bachillerato)) pues son problemas propuestos en pruebas de acceso a la universidad.
En este enlace tienes problemas que requieren conocimientos de enseñanza secundaria, pero que no son en general simple aplicación de la teoría (ejercicios) sino que requieren elaboración propia y creatividad adicional: http://www.unavarra.es/dep-matematicas/tablon-de-anuncios?contentId=124059

Una página con enunciado (y quizá acceso a sus soluciones) que requieren sólo de "matemáticas elementales" pero que son difíciles ( o por lo menos no demasiado fáciles) es  http://problemate.blogspot.com.es/

Bueno, a ver si esto le resulta de utilidad a alguien

Hasta la próxima entrada

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